Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание № 2345
i

Най­ди­те (в гра­ду­сах) сумму раз­лич­ных кор­ней урав­не­ния ко­си­нус 10x плюс ко­си­нус 6x плюс ко­си­нус 2x = 0 на про­ме­жут­ке (– 110°; 0°).

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Решим урав­не­ние, при­ме­няя фор­му­лу суммы ко­си­ну­сов:

ко­си­нус 10x плюс ко­си­нус 6x плюс ко­си­нус 2x = 0 рав­но­силь­но 2 ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 10x минус 2x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 10x плюс 2x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс ко­си­нус 6x = 0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но 2 ко­си­нус 4x ко­си­нус 6x плюс ко­си­нус 6x = 0 рав­но­силь­но ко­си­нус 6x левая круг­лая скоб­ка 2 ко­си­нус 4x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ко­си­нус 6x = 0, ко­си­нус 4x = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но
рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 6x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи k, 4x = дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n, 4x = дробь: чис­ли­тель: 4 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби k = 15 гра­ду­сов плюс 30 гра­ду­сов k, x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби n = 30 гра­ду­сов плюс 90 гра­ду­сов n, x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби n = 60 гра­ду­сов плюс 90 гра­ду­сов k, конец со­во­куп­но­сти . k, n при­над­ле­жит Z .

От­бе­рем с по­мо­щью двой­но­го не­ра­вен­ства корни, ле­жа­щие в про­ме­жут­ке (– 110°; 0°):

минус 110 гра­ду­сов мень­ше 15 гра­ду­сов плюс 30 гра­ду­сов k мень­ше 0 гра­ду­сов рав­но­силь­но минус 125 гра­ду­сов мень­ше 30 гра­ду­сов k мень­ше минус 15 гра­ду­сов рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: 25, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби мень­ше k мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

минус 110 гра­ду­сов мень­ше 30 гра­ду­сов плюс 90 гра­ду­сов n мень­ше 0 гра­ду­сов рав­но­силь­но минус 140 гра­ду­сов мень­ше 90 гра­ду­сов n мень­ше минус 30 гра­ду­сов рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: 14, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби мень­ше n мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

минус 110 гра­ду­сов мень­ше 60 гра­ду­сов плюс 90 гра­ду­сов n мень­ше 0 гра­ду­сов рав­но­силь­но минус 170 гра­ду­сов мень­ше 90 гра­ду­сов n мень­ше минус 60 гра­ду­сов рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: 17, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби мень­ше n мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Из пер­вой серии кор­ней по­лу­ча­ем целые k = минус 4, минус 3, минус 2, минус 1, ко­то­рым со­от­вет­ству­ют (в гра­ду­сах) корни  минус 105, минус 75, минус 45, минус 15. Из вто­рой и тре­тьей серий кор­ней по­лу­ча­ем целое n  =  – 1, ко­то­ро­му со­от­вет­ству­ют (в гра­ду­сах) корни  минус 60, минус 30. Сло­жим:

минус 105 минус 75 минус 45 минус 15 минус 60 минус 30 = минус 330.

Ответ: – 330.


Аналоги к заданию № 2313: 2345 Все

Источник: Цен­тра­ли­зо­ван­ный эк­за­мен. Ма­те­ма­ти­ка: пол­ный сбор­ник те­стов, 2024 год. Ва­ри­ант 7
Спрятать решение · Прототип задания · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025